Question

已知函數f(x)＝ax²－(4a＋2)x＋4lnx，其中a≥0．
（1）若a＝0，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
（2）討論函數f(x)的單調性．

Answer 1

（1）2x－y－4＝0，（2）當a＝0時，f(x)的單調增區間是(0，2)，單調減區間是(2，＋∞)；
當0＜a＜時，f(x)的單調增區間是(0，2)和(，＋∞)，減區間為(2，)；當a＝時，f(x)的單調增區間是(0，＋∞)；當a＞時，f(x)的單調增區間是(0，)和(2，＋∞)，減區間為(，2)

試題分析：（1）利用導數集合意義，在處導數值等于該點處切線的斜率，因為，所以
f ′(1)＝2, 又切點為(1，－2)，所以所求切線方程為y＋2＝2(x－1)，（2）函數f(x)的單調性之所以要討論，就是由于導函數為零時根的不確定性.因為，所以當a＝0時，方程在定義域內只有一根；當時，需討論兩根的大小，三種情況0＜a＜，a＝，及a＞需一一討論.解題過程中，最易忽視的是兩根相等的情況；答題時最易出錯的是將兩個單調性相同的不連續區間用“并集”“或”合并寫.
試題解析：解（1）當a＝0時，f(x)＝－2x＋4lnx，
從而，其中x＞0．                         2分
所以f′(1)＝2．
又切點為(1，－2)，
所以所求切線方程為y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0．      4分
（2）因為f(x)＝ax²－(4a＋2)x＋4lnx，
所以，其中x＞0．
①當a＝0時，，x＞0．
由f′(x)＞0得，0＜x＜2，所以函數f(x)的單調增區間是(0，2)；單調減區間是(2，＋∞)；    6分
②當0＜a＜時，因為＞2，由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞．
所以函數f(x)的單調增區間是(0，2)和(，＋∞)；單調減區間為(2，)；      8分
③當a＝時，，且僅在x＝2時，f ′(x)＝0，
所以函數f(x)的單調增區間是(0，＋∞)；
④當a＞時，因0＜＜2，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞2，
所以函數f(x)的單調增區間是(0，)和(2，＋∞)；單調減區間為(，2)．
綜上，
當a＝0時，f(x)的單調增區間是(0，2)，單調減區間是(2，＋∞)；
當0＜a＜時，f(x)的單調增區間是(0，2)和(，＋∞)，減區間為(2，)；
當a＝時，f(x)的單調增區間是(0，＋∞)；
當a＞時，f(x)的單調增區間是(0，)和(2，＋∞)，減區間為(，2)．   10分