Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），
（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數a的值；
（2）若f（x）在區間（﹣∞，2]上是減函數，且對任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，求實數a的取值范圍；
（3）若g（x）=2x+log2（x+1），且對任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+（5﹣a2）

∴f（x）在（﹣∞，a]上單調遞減，又a＞1，

∴f（x）在[1，a]上單調遞減，

∴ ，

∴ ，

∴a=

（2）解：∵f（x）在區間（﹣∞，2]上是減函數，

∴（﹣∞，2]（﹣∞，a]

∴a≥2

∴|1﹣a|≥|（a+1）﹣a|，f（1）≥f（a+1）

∴x∈[1，a+1]時，f（x）max=f（1），

又∵對任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，

∴f（1）≤0，即 1﹣2a+5≤0，

∴a≥3

（3）解：∵g（x）=2x+log2（x+1）在[0，1]上遞增，f（x）在[0，1]上遞減，

當x∈[0，1]時，g（x）∈[1，3]，f（x）∈[6﹣2a，5]

∵對任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立；

∴[1，3][6﹣2a，5]

∴6﹣2a≤1，

即 ．

【解析】（1）由函數f（x）的解析式，可得函數在（﹣∞，a]上單調遞減，進而得到f（x）在[1，a]上單調遞減，則 ，由此構造關于a的方程組，解之可得答案．（2）若f（x）在區間（﹣∞，2]上是減函數，則（﹣∞，2]（﹣∞，a]，進而結合x∈[1，a+1]時，f（x）max=f（1），構造關于a的不等式，解不等式，可得答案．（3）由函數g（x）在[0，1]上遞增，f（x）在[0，1]上遞減，可分別求出兩個函數的值域，若對任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立；則兩個函數的值域滿足：[1，3][6﹣2a，5]，進而可得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．