Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x+1|+|x-2|-m
（I）當m=5時，求f（x）＞0的解集；
（II）若關于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

（I）當m=5時，原不等式可化為：|x+1|+|x-2|＞5，
①

x≥2 x+1+x-2＞5

，解之，得x＞3；
②

1≤x＜2 x+1-x+2＞5

，解之，得不存在符合題意的實數x；
③

x＜1 -x-1-x+2＞5

，解之，得x＜-2
綜上所述，當m=5時，f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（3，+∞）…（5分）
（II）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|＞m+2，
∵x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴要使不等式|x+1|+|x-2|≥m+2解集是R，必定有m+2≤3，即m≤1
由此可得：m的取值范圍是（-∞，1]．…（10分）