Question

已知函數(其中)，為f(x)的導函數.
（1）求證：曲線y=在點(1，)處的切線不過點(2，0)；
（2）若在區間中存在，使得，求的取值范圍；
（3）若，試證明：對任意，恒成立.

Answer 1

（1）參考解析；（2）； （3）參考解析

試題分析：（1）由函數(其中)，求出，由于求y=在點(1，)處的切線方程，由點斜式可得結論.
（2）由，再利用分離變量即可得到.在再研究函數的單調性即可得到結論.
（3）由可得.需證任意，恒成立，等價證明.然后研究函數，通過求導求出函數的最大值.研究函數，通過求導得出函數的.再根據不等式的傳遞性可得結論.
（1）由得，，
所以曲線y=在點(1，)處的切線斜率為，
，曲線y=切線方程為，
假設切線過點(2，0)，代入上式得：，得到0=1產生矛盾，所以假設錯誤，
故曲線y=在點(1，)處的切線不過點(2，0）   4分
（2）由得
，，所以在(0，1]上單調遞減，故    7分
（3）令，當=1時，，所以..
因此，對任意，等價于.    9分
由，.所以.
因此，當時，，單調遞增；時，，單調遞減.
所以的最大值為，故.            12分
設，，所以時，單調遞增，，
故時，，即.
所以.
因此，對任意，恒成立         14分