Question

給出以下四個結論：
①函數f(x)=

2x-1

x+1

的對稱中心是（-1，2）；
②若關于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）沒有實數根，則k的取值范圍是k≥2；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件；
④若將函數f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后變為偶函數，則φ的最小值是

π

12

；其中正確的結論是

①③④

．

Answer 1

分析：①將函數化為復合函數形式，利用反比例函數的圖象性質可得此函數的對稱中心；②將問題轉化為y=

1

x

-x在x∈（0，1）上的圖象與y=k沒有交點問題，利用函數的單調性及數形結合即可得關于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）沒有實數根的充要條件；③其實若在△ABC中，bcosA=acosB，則sinBcosA-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，即A=B，故三角形定為等腰三角形，不一定為等邊三角形；④利用圖象變換的理論得平移后函數解析式，再利用函數圖象的對稱性即可得φ的最小值

解答：解：①函數f(x)=

2x-1

x+1

=

2(x+1)-3

x+1

=2-

3

x+1

，∵f（-1+x）+f（-1-x）=4，∴函數f(x)=

2x-1

x+1

的對稱中心是（-1，2），①正確；
②關于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）沒有實數根，即k=

1

x

-x在x∈（0，1）沒有實數根，即y=

1

x

-x在x∈（0，1）上的圖象與y=k沒有交點，
∵y=

1

x

-x在x∈（0，1）上為減函數，∴y＞1-1=0
∴k≤0，∴②錯誤
③當a=b=1，A=B=30°時，bcosA=acosB，但此三角形不是等邊三角形，故，“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的不充分條件；若三角形為等邊三角形，則a=b，A=B=60°，
bcosA=acosB，故，“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要條件，∴“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件，③正確
④將函數f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后的解析式為f（x）=sin（2x-2φ-

π

3

），由2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z），得φ=

1

2

kπ+

π

12

，∵φ＞0，∴φ的最小值是

π

12

；④正確
故答案為①③④

點評：本題考查了復合函數的對稱性，函數零點問題與函數圖象交點個數的關系，三角變換公式及三角形形狀的判斷，圖象變換與函數圖象性質等知識