Question

【題目】解答題
（1）求函數f（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）在0＜x≤ 上的最大值；
（2）證明：不等式x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0，1）上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=1+ln（1﹣x）+2，

令f′（x）=0，解得：x= ﹣ （記為x0），

則f（x）在（0，x0）遞減，在（x0， ]遞增，

x→0+時，f′（x）→0，f（π）≤f（ ）=0，即xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）≤0，

∴f（x）在（0， ]上的最大值是0

（2）證明：∵g（x）=x1﹣x+（1﹣x）x滿足：g（x）=g（1﹣x），

∴g（x）關于直線x= 對稱，

故只需證明：x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0， ]恒成立，

而g′（x）=x1﹣x（﹣lnx+ ）+（1﹣x）x[ln（1﹣x）﹣ ]，

而g（ ）= ，只需證明g′（x）≥0，①在（0， ]恒成立，

而﹣xlnx+1﹣x＞0，

即只需證明： ≥ ②，

而由（1）可得0＜x≤ 時，（1﹣x）1﹣x≥xx，即 ≥1③，

要使②式成立，只需證明 ≤1在（0， ]上恒成立，

即只需φ（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）+2x﹣1≤0④，

由（1）得：xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）≤0，而2x﹣1≤0，

從而④式成立，

綜合③④可知②式成立，

故①式得證，從而原不等式得證

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可；（2）求出g（x）關于直線x= 對稱，只需證明：x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0， ]恒成立，求出函數的導數，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．