Question

已知正項數列{a_n}滿足a₁=P（0＜P＜1），且an+1=

an

1+an

n∈N^*
（1）若bn=

1

an

，求證：數列{b_n}為等差數列；
（2）求證：

a1

2

+

a2

3

+

a3

4

+…+

an

n+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知，得b_n+1-b_n=1∴數列{b_n}為等差數列；
（2）由（1）求出an=

1

n+ 1 p -1

＜

1

n

，再對

an

n+1

放縮，使得能求和運算，并將結果與1比較．

解答：解：（1）b1=

1

a1

=

1

P

∴bn+1-bn=

1 an+1 - 1 an = 1+an an - 1 an =1&

故數列{b_n}是以b1=

1

P

為首項，以1為等差的等差數列              
（2）證明：bn=

1

an

=

1

p

+(n-1)⇒an=

1

n+ 1 p -1

∵0＜p＜1

∴ 1 p -1＞0

⇒an=

1

n+ 1 p -1

＜

1

n

a1

2

+

a2

3

+

a3

4

+…+

an

n+1

＜

1

2×1

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

(n+1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1

點評：本題考查等差數列的定義、通項公式、裂項法求和、不等式的證明．變形構造轉化．考查變形轉化構造、放縮、計算等能力．