Question

一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動，則該小球表面永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是         ．

Answer 1

 

解析試題分析：如圖甲，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．

因，
故，從而．
記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則
．
考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如圖乙．記正四面體的棱長為，過作于．
因，有，故小三角形的邊長．
小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答圖2中陰影部分）

．　　　　　　　　　
又，，所以．
由對稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．
考點(diǎn)：(1)三棱錐的體積公式；（2）分情況討論及割補(bǔ)思想的應(yīng)用。