Question

設函數的值域為A，不等式lg（x-1）＜1的解集為B．
（1）求A∪B；
（2）若集合M={x|a-1＜x＜a+1}，且（A∩B）∩M=∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：由題意得：0≤16-4^x＜16，
∴0≤＜=4，
即函數f（x）的值域為[0，4），
∴A=[0，4）；
由不等式lg（x-1）＜1變形得：lg（x-1）＜1g10，
根據對數函數為增函數得：0＜x-1＜10，
解得1＜x＜11，
∴B=（1，11），
（1）∵A=[0，4），B=（1，11），
∴A∪B=[0，11）；
（2））∵A=[0，4），B=（1，11），
∴A∩B=（1，4），
由（A∩B）∩M=∅可知：a-1≥4或a+1≤1，
∴a≤0或a≥5．
分析：由負數沒有平方根得到0≤16-4^x＜16，開方即可求出函數f（x）的值域，確定出集合A；把不等式右邊的1變形后，由對數函數底數為10大于1得到對數函數為增函數，根據真數大于0且對數函數為增函數列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可確定出集合B，
（1）根據確定出的集合A和B，求出兩集合的并集即可；（2）根據確定出的集合A和B，先求出兩集合的交集，然后由（A∩B）∩M=∅，列出關于a的不等式，分別求出解集即可得到a的范圍．
點評：此題屬于以函數的值域、對數函數的單調性及特殊點為平臺，考查了交集及并集的運算，同時考查了集合的包含關系判斷及應用，以及空集的定義，其中確定出集合A和B是解本題的關鍵．