Question

【題目】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為 ．

Answer 1

【答案】4 cm3
【解析】解：由題意，連接OD，交BC于點G，由題意得OD⊥BC，OG= BC，
即OG的長度與BC的長度成正比，
設OG=x，則BC=2 x，DG=5﹣x，
三棱錐的高h= = = ，
=3 ，
則V= = = ，
令f（x）=25x4﹣10x5 ， x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4 ，
令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，
則f（x）≤f（2）=80，
∴V≤ =4 cm3 ， ∴體積最大值為4 cm3 ．
故答案為：4 cm3 ．

由題，連接OD，交BC于點G，由題意得OD⊥BC，OG= BC，設OG=x，則BC=2 x，DG=5﹣x，三棱錐的高h= ，求出S△ABC=3 ，V= = ，令f（x）=25x4﹣10x5 ， x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4 ， f（x）≤f（2）=80，由此能求出體積最大值．