Question

已知函數f（x）=x³-2x²+ax+1（a∈R），若函數f（x）在區間（

1

3

，1）內是減函數，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：求出函數f（x）=x³-2x²+ax+1（a∈R）的導數，由于函數f（x）在區間（

1

3

，1）內是減函數，故導數在這個區間內恒為負，由此不等式解出參數的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=x³-2x²+ax+1
∴f′（x）=3x²-4x+a
又函數f（x）在區間（

1

3

，1）內是減函數
∴當x∈（

1

3

，1）時，恒有f′（x）=3x²-4x+a＜0
即a＜-3x²+4x在x∈（

1

3

，1）時恒成立
由于令h（x）=-3x²+4x=-3（x-

2

3

）²+

4

3

，當x∈（

1

3

，1）有h（x）∈（1，

4

3

]
判斷知a≤1
故答案為（-∞，1]

點評：本題利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是理解并掌握函數的導數的符號與函數的單調性的關系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導數符號得出單調性，一類是由單調性得出導數的符號，本題屬于第二種類型．求解本題有一個易錯點，即a＜-3x²+4x在x∈（

1

3

，1）時恒成立，易因為判斷不清，得出a≥

4

3

，此是由邏輯不清造成的，做題時一定要注意轉化的嚴密性，正確性．