Question

（1）設x是正實數，求證：（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

Answer 1

證明：（1）∵x是正實數，由均值不等式知x+1≥2，
1+x²≥2x，
x³+1≥2，
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）≥2•2x•2=8x³（當且僅當x=1時等號成立）；
故（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³仍然成立，
當x＞0時，由（1）知不等式成立；
當x≤0時，8x³≤0，
∵（x³+1）=（x+1）（x²-x+1）
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）=（x+1）²（x²+1）（x²-x+1）
=（x+1）²（x²+1）[（x-）²+]≥0，
綜上可知，此時不等式仍然成立．
分析：（1）將所給的不等式分成三個式子，用基本不等式即a＞0，b＞0，a+b≥2（當且僅當a=b時等號成立）進行證明；
（2）因為x∈R，所以分x＞0和x≤0兩種情況進行證明，當x＞0時，由（1）知不等式成立；當x≤0時有8x³≤0，用立方和對不等式左邊進行化簡，利用配方求二次函數的最小值為0．
點評：本題考查了基本不等式在證明中的應用，注意前提條件都是正實數，當不是正實數時轉化為求函數的最值，且證明不等式需要證明左邊的最小值大于等于右邊的最大值．