Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，、分別是、的中點。

（1）證明：；

（2）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求銳二面角的余弦值；

（3）在（2）的條件下，設，求點到平面的距離。

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）證明：由四邊形為菱形，，知為正三角形

∵為的中點 ∴，又 ∴…………………………1分

∵平面，平面 ∴

而平面，平面,且,

∴平面，又平面，∴…………………………3分

（2）設，連結         

由（1）知平面,而,∴，

則為與平面所成的角。……………………………………………… 4分[來源:ZXXK]

在中，，當最小時，即當時，最大，此時

因此，

又  ∴ ∴………………………………………………… 5分

方法一：平面，平面，  ∴平面平面

過作于，則平面，過作于，連結，則為二面角的平面角。…………………………………………………… 6分

在中，

又為的中點，∴在中，,

又

在中，         

即所求二面角的余弦值為……………………………………………………………7分

方法二：由（1）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：

∴………………………………………………………7分

設平面的一個法向量為，

則，因此

取，則…………………………………………………………… 8分

∵，平面

故為平面的法向量。……………………………………………………6分

∴         

二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為………………………………………… 7分

（3）方法一：由（2）得：在中，，∴

在中，，∴中，，[來源:Z&xx&k.Com]

又,∴……………………………………………………………… 8分

又，點到平面的距離，………………… 9分

設點到平面的距離為，

∵，∴，

∴………………………………………………………………10分

方法二：由（2）解法2知，平面的一個法向量為……………………8分

又∵         

∴點到平面的距離為…………………………………10分

其余方法請酌情給分！！