Question

【題目】已知函數的定義域為，若滿足，則稱函數為“型函數”.

（1）判斷函數和是否為“型函數”，并說明理由；

（2）設函數，記為函數的導函數.

①若函數的最小值為1，求的值；

②若函數為“型函數”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)不是,是,理由見解析;(2)①;②.

【解析】

(1)分別求出兩個函數的定義域,判斷即可.

(2) ①求出,再求,通過導數探究當取何值時,取最小值,令最小值為1,即可求出的值.②由題意恒成立,分別討論當和時,通過探究 的單調性判斷是否使得不等式恒成立,從而求出的取值范圍.

解:(1)對于函數,定義域為,顯然不成立,所以不是“型函數”;

對于函數,定義域為.

當時,,所以,即;

當時,,所以,即.

所以,都有.所以函數是“型函數”.

(2)①因為

所以.當時,,所以在上為減函數;

當時,,所以在上為增函數.

所以.所以,故.

②因為函數為“型函數”,

所以(*).

(ⅰ)當,即時,由①得,即.

所以在上為增函數,又,當時,

所以;當時,,所以.

所以,適合(*)式.

(ⅱ)當,即時,,.

所以由零點存在性定理得,使,又在上為增函數

所以當時,,所以在上為減函數

又,所以當時,,所以,不適合(*)式.

綜上得,實數的取值范圍為.