Question

已知橢圓 的左、右焦點分別是、,是橢圓右準線上的一點，線段的垂直平分線過點.又直線：按向量平移后的直線是，直線：按向量平移后的直線是 (其中)。

（1） 求橢圓的離心率的取值范圍。

（2）當離心率最小且時，求橢圓的方程。

（3）若直線與相交于（2）中所求得的橢圓內的一點，且與這個橢圓交于、兩點，與這個橢圓交于、兩點。求四邊形ABCD面積的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3） .

【解析】

試題分析：（1）要求離心率e的范圍，就要找出含e的不等式.這個不等式從哪里來？

線段的垂直平分線過點，所以，兩邊除以得：，解這個不等式即可得離心率的取值范圍：.（2）由（1）知的最小值為，即.

又因為，這樣便得一個方程組，解這個方程組即可.

（3）據條件知直線與相互垂直，所以四邊形ABCD的對角線互相垂直，其面積.

求出直線與的方程，聯立起來解方程組便可得交點P的坐標.因為交戰點P在橢圓內，據此可得m的范圍.接下來將直線的方程與橢圓的方程聯立，再用弦長公式，可得弦AC，再將與橢圓的方程聯立，可得弦BD，由此可得四邊形ABCD面積與m的函數關系式，再用前面求得的m的范圍，就可求出這個函數式的范圍，即四邊形ABCD面積的取值范圍.

試題解析：（1）設橢圓的焦距是，則據條件有

解之得：                             3分

（2）據（1）知，又，得橢圓的方程是

                                     6分

（3）據條件有

：

：                                7分

由   解得

因在橢圓內，有                       9分

又由，消去得

所以

據對稱性易知        12分

所以                                 13分

而，所以                                14分

考點：1、直線與圓錐曲線的位置關系；2、函數的范圍；3、不等關系.