Question

【題目】如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，直線ADE、CFD、CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB．

（1）若CG=1，CD=4．求 的值．
（2）求證：FG∥AC．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形DEGF內接于⊙O，

∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．

因此△CGF∽△CDE，可得 = ，

又∵CG=1，CD=4，

∴ =4

（2）解：證明：∵AB與⊙O的相切于點B，ADE是⊙O的割線，

∴AB2=ADAE，

∵AB=AC，

∴AC2=ADAE，可得 = ，

又∵∠EAC=∠DAC，

∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，

∵四邊形DEGF內接于⊙O，

∴∠ADC=∠EGF，

因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC

【解析】（1）根據圓內接四邊形的性質，證出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此 = =4；（2）根據切割線定理證出AB2=ADAE，所以AC2=ADAE，證出 = ，結合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根據圓內接四邊形的性質得∠ADC=∠EGF，從而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．