Question

已知圓C：（x+l）²+y²=8及點F（l，0），P為圓C上一動點，在同一坐標平面內的動點M滿足：．
（I）求動點M的軌跡E的方程；
（II）過點F作直線l與（I）中軌跡E交于不同兩點R、S，設，求直線l 的縱截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據，可得動點M的軌跡E是以C，F為左、右焦點的橢圓，由此可得軌跡方程；
（II）①若直線l的斜率為0，不滿足；
②當直線l的斜率不為0時，設方程為x=ty+1，代入，利用韋達定理，及，即可求得結論．
解答：解：（I）由已知，圓C：（x+1）²+y²=8，則半徑為2
∵
∴C，M，P三點共線，且|MC|+|MF|=|MF|+|MP|=|FP|=2
∴動點M的軌跡E是以C，F為左、右焦點的橢圓，且2a=2，c=1
∴動點M的軌跡E的方程為；
（II）①若直線l的斜率為0，則R（-，0），S（，0），F（1，0），
∴，
∴，故直線l的縱截距不可能為0；
②當直線l的斜率不為0時，λ≠-1，設方程為x=ty+1（t≠0），代入，可得（t²+2）y²+2ty-1=0
設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）（y₁≠0，y₂≠0），則y₁+y₂=-，y₁y₂=-
∵，∴y₁=λy₂，∴λ=，λ＜0
∴+2=+2==-
∵λ∈[-2，-1]
∴
∴-≤-≤0
∴0≤t²≤
∴0＜t≤或
∴直線l的縱截距-．
點評：本題考查橢圓的定義，考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，綜合性強．