Question

（本題滿分12分）

已知函數。

（I）求的最小值；

（II）若對所有都有，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，取得最小值。 （Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）的定義域為，的導數。

令，解得；令，解得。

從而在上單調遞減，在上單調遞增。

所以，當時，取得最小值。

（Ⅱ）解法一：令，則，    

①若，當時，，

故在上為增函數，

所以，時，，即。                

②若，方程的根為 ，

此時，若，則，故在該區間為減函數。所以，時，即，與題設相矛盾。

綜上，滿足條件的實數的取值范圍是。

解法二：依題意，得在上恒成立，

即不等式對于恒成立。 令，則。 當時，因為，故是上的增函數，所以的最小值是，從而實數的取值范圍是。

考點：本題主要考查利用導數研究函數單調性、求函數極值、最值。

點評：典型題，導數的應用，是高考必考內容，注意解答成立問題的一般方法步驟。恒成立問題，通過分離參數法，轉化成求函數最值問題，應用導數知識加以解答。這體現了幾道此類題的一般方法步驟。