Question

已知函數g（x）=ax-

a

x

-5lnx，其中a∈R．
（1）若g（x）在其定義域內為增函數，求正實數a的取值范圍；
（2）設函數h（x）=x²-mx+4，當a=2時，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g（x₁）≥h（x₂）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將函數為增函數，轉化為導函數大于等于0恒成立，分離出參數a，求出a的范圍；
（2）對h（x）進行配方，討論其最值問題，根據題意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g（x₁）≥h（x₂）成立，只要要求g（x）_max≥h（x）_max，即可，從而求出m的范圍；

解答：解：（1）∵g（x）=ax-

a

x

-5lnx，
∴g′（x）=a+

a

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

，
若g′（x）＞0，可得ax²-5x+a＞0，在x＞0上成立，
∴a＞

5x

x2+1

=

5

x+ 1 x

，求出

5

x+ 1 x

的最大值即可，
∵

5

x+ 1 x

≤

5

2 1

=

5

2

（x=1時等號成立），
∴a＞

5

2

；
（2）當a=2時，可得，g（x）=2x-

2

x

-5lnx，
h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g（x₁）≥h（x₂）成立，
∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，
g′（x）=

2x2-5x+2

x2

=

(2x-1)(x-2)

x2

，令g′（x）=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=2，
當0＜x＜

1

2

，或x＞2時，g′（x）＞0，g（x）為增函數；
當

1

2

＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）為減函數；
∵x₁∈（0，1），
∴g（x）在x=

1

2

出取得極大值，也是最大值，
∴g（x）_max=g（

1

2

）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，
若m≤3，h_max（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥

11-5ln2

2

，
∵

11-5ln2

2

＞3，故m不存在；
若m＞3時，h_max（x）=h（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，
實數m的取值范圍：m≥8-5ln2；

點評：本題考查函數單調性與導數的關系，和分類討論思想，及二次函數的知識，是導數中常見的恒成立問題，屬中檔題；