Question

在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)求證：數列{an－n}是等比數列；

(2)求數列{an}的前n項和Sn；

(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．

 

Answer 1

（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】(1)證明：由題設an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以數列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數列．

(2)【解析】
由(1)可知an－n＝4n－1，于是數列{an}的通項公式為an＝4n－1＋n，所以數列{an}的前n項和Sn＝.

(3)證明：對任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＝－ (3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．