Question

已知函數f（x）=a（x-1）+lnx；
（1）若f（x）≥0在其定義域上恒成立，求a的取值所構成的集合；
（2）在函數f（x）的圖象任意給定相異兩點A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂）），其中x₁＜x₂，是否總存在x∈（x₁，x₂）使得f′（x）=？請說明理由！

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）≥0在其定義域上恒成立轉化為f（x）_min＞0，從而可用導數求解f（x）的最小值．
（2）令g（x）=f′（x）-，則問題轉化為判斷函數g（x）在（x₁，x₂）上是否存在零點x₀ ，從而可利用函數存在零點的條件進行判斷．
解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．f′（x）=a+=，
①當a≥0時，f′（x）＞0，所以f（x）在定義域內單調遞增，又f（1）=0，所以當0＜x＜1時，f（x）＜0，故a≥0不合題意；
②當a＜0時，令f′（x）=0，得x=，當0＜x＜-時，f′（x）＞0，f（x）在（0，-）上單調遞增；當x＞-時，f′（x）＜0，f（x）在（-，+∞）上單調遞減．
若-＜1即a＜-1，則x＞1時，f（x）＜f（1）=0，故a＜-1不合題意；若-＞1，即-1＜a＜0，則x＜1時，f（x）＜f（1）=0，故-1＜a＜0不合題意．
綜上，a的取值構成的集合為∅．
（2）===a+．
f′（x）=a+，令g（x）=f′（x）-=（a+）-（a+）=-．
則g（x₁）=-=，g（x₂）=-=．
令h（t）=tlnt-t+1，則h′（t）=lnt，令h′（t）=0，則t=1，當0＜t＜1時，h′（t）＜0，h（t）單調遞減；當t＞1時，h′（t）＞1，h（t）單調遞增．
所以當t≠1時，h（t）＞h（1）=0，從而+1＞0，+1＞0．又＞0，＜0，
所以g（x₁）＞0，g（x₂）＜0，因為函數g（x）在[x₁，x₂]上的圖象是連續不斷的一條曲線，
所以總存在x∈（x₁，x₂）使g（x）=0，即f′（x）=．
點評：本題考查利用導數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力、分析解決問題的能力，同時考查函數與方程思想．