Question

例5．已知函數(shù)f（x）對其定義域內(nèi)的任意兩個數(shù)a，b，當(dāng)a＜b時，都有f（a）＜f（b），證明：f（x）=0至多有一個實根．

Answer 1

【答案】分析：正面證明難以下手，考慮用反證法，對于含有“至多”等形式的命題，�？紤]用反證法．
解答：解：假設(shè)f（x）=0至少有兩個不同的實數(shù)根x₁，x₂，不妨假設(shè)x₁＜x₂，
由方程的定義可知：f（x₁）=0，f（x₂）=0
即f（x₁）=f（x₂）
由已知x₁＜x₂時，有f（x₁）＜f（x₂）這與式①矛盾
因此假設(shè)不能成立
故原命題成立．
注：反證法時對結(jié)論進(jìn)行的否定要正確，注意區(qū)別命題的否定與否命題．
點評：反證法是一種簡明實用的數(shù)學(xué)證題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想．相對于直接證明來講，反證法是一種間接證法．它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法．其實質(zhì)是運用“正難則反”的策略，從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾．