Question

設橢圓的兩個焦點分別為F₁，F₂，過F₂作橢圓長軸的垂線與橢圓相交，其中的一個交點為P，若△F₁PF₂為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（　　）

• A、

  2

  -1
• B、

  2 +1

  2

• C、2

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：設橢圓的方程和點P的坐標，把點P的坐標代入橢圓的方程，求出點P的縱坐標的絕對值，Rt△PF₁F₂ 中，利用邊角關系，
建立a、c 之間的關系，從而求出橢圓的離心率．

解答：解：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），設點P（c，h），則

c2

a2

+

h2

b2

=1，
h²=b²-

b2c2

a2

=

b4

a2

，∴|h|=

b2

a

，由題意得∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=45°，
Rt△PF₁F₂ 中，tan45°=1=

PF2

F1F2

=

PF2

2c

=

|h|

2c

=

b2

2ac

=

a2-c2

2ac

，
∴a²-c²=2ac，(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0，∴

c

a

=

2

-1，
故選 A．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，直角三角形中的邊角關系的應用．考查計算能力．