Question

已知函數是定義在R 上的奇函數．
（1）求θ的值和函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若三角形ABC三個內角A、B、C的對應邊分別為a、b、c，△ABC的面積等于函數f（A）的最大值，求f（A）取最大值時a的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先化簡函數f（x），根據奇函數可知f（0）=0，以及θ的范圍求出θ的值；由正弦函數的單調減區間，求得f（x）的單調減區間；
（2）先利用正弦的值域求得f（A）≤，當A=時等于三角形的面積，然后根據S_△ABC=，求得bc=4，進而由余弦定理和放縮求得a 的最小值．
解答：解：（1）=（2分）
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x），易知f（0）=0，，∴，∵，∴，∴．（4分）
此時為R上的奇函數，∴符合題意（5分）
又由，得，
∴函數f（x）的單調遞減區間為（7分）
（2），
∴，（9分），∴bc=4，（10分）
由余弦定理可以知道，（12分）
∴．
∴a的最小值是（14分）
點評：本題考查了三角函數的最值和單調性，對于（2）問，注意放縮和余弦定理的運用，本題綜合性強，屬于中檔題．