Question

22.已知拋物線C:y＝x²＋4x＋,過C上一點(diǎn)M,且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線.

   (Ⅰ)若C在點(diǎn)M法線的斜率為－,求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x₀,y₀);

   (Ⅱ)設(shè)P(－2,a)為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn),在C上是否存在點(diǎn),使得C在該

點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P？若有,求出這些點(diǎn),以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒有,請說明理由.

Answer 1

22.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和應(yīng)用,直線方程以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 解:

(Ⅰ)函數(shù)y＝x²+4x+的導(dǎo)數(shù)

  =2x+4

C上點(diǎn)(x_0,y₀)處切線的斜率

　　　　　k₀＝2x₀+4,

  因?yàn)檫^點(diǎn)(x₀,y₀)的法線斜率為－,

　所以　　　－(2x₀+4)＝－1,

  解得x₀＝－1,y₀＝,

  故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1,).

  (Ⅱ)設(shè)M(x₀,y₀)為C上一點(diǎn).

　(i)若x₀＝－2,則C上點(diǎn)M(－2,－)處的切線斜率k＝0,過點(diǎn)M(－2,－)的法線方程為x＝－2,此法線過點(diǎn)P(－2,a).

  (ii)若x₀≠－2,則過點(diǎn)M(x₀,y₀)的法線方程為

y－y₀＝－(x－x₀).                  ①

　 若法線過P(－2,a),則a－y₀＝－(－2－x₀),

   即　　　(x₀+2)²＝a.                              ②

　 若a>0,則x₀＝－2±,從而

          y₀＝x+4x₀+＝,

   將上式代入①,化簡得

　　　　　 x+2y+2－2a＝0,

           x－2y+2+2a＝0.

  若a＝0,則與x₀≠－2矛盾.

若a<0,則②式無解.

綜上,當(dāng)a>0時(shí),在C上有三個(gè)點(diǎn)(－2+,),(－2－,)

及(－2,－).在這三點(diǎn)的法線過點(diǎn)P(－2,a),其方程分別是:

  x+2y+2－2a＝0,

  x－2y+2+2a＝0,

  x＝－2.

    當(dāng)a≤0時(shí),在C上有一個(gè)點(diǎn)(－2,－),在這點(diǎn)的法線過點(diǎn)P(－2,a),其方

 程為:

   x＝－2.