Question

若函數
（1）若f（x）在[1，+∞）上為增函數，求m的范圍．
（2）當m=1時，若a＞b＞1，比較f（a^ab^b4^a）與f[（a+b）^a+b]的大小，并說明理由．
（3）當m=1時，設{a_n}為正項數列，且n≥2時[f′（a_n）•f′（a_n-1）+]•a_n²=q，（其中q≥2010），a_n的前n項和為S_n，，若b_n≥2011n恒成立，求q的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，知=，x＞0．由f（x）在[1，+∞）上為增函數，知x∈[1，+∞）時，恒成立．由此能導出m的范圍．
（2）當m=1時，，x∈[1，+∞）時，，f（x）在[1，+∞）上單調遞增，要比較f（a^ab^a4^a）與f[（a+b）^a+b]的大小，即比較與的大小．由此能推導出f（a^ab^b4^a）＞f[（a+b）^a+b]．
（3）當m=1時，，且，所以，由恒成立，q≥2010時，數列為單調遞減數列，能夠推導出若b_n≥2011n恒成立，求q的最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴
=，x＞0．
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴在[1，+∞）上恒大于或等于0，
即：x∈[1，+∞）時，恒成立．
又∵m∈R⁺，即：mx-1≥0恒成立．即：恒成立．
∴m的范圍為：[1，+∞）．…（4分）
（2）當m=1時，，x∈[1，+∞）時，，
∴f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
要比較f（a^ab^a4^a）與f[（a+b）^a+b]的大小，
∵a^ab^b4^a＞1，且（a+b）^a+b＞1，
即比較a^ab^b4^a與（a+b）^a+b的大小．
即比較與的大小．
∴-
=alog₂a+blog₂b+2a-（a+b）log₂（a+b）
=alog₂a+2a-alog₂（a+b）-blog₂（a+b）+blog₂b，
設g（x）=xlog₂x+2x-xlog₂（x+b）+blog₂b，x∈（b，+∞），
-
=log₂x+2-log₂（x+b）
=．
∵x＞b，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（b，+∞）單調遞增．
且a＞b，
∴g（a）＞g（b），
即：alog₂a+2a-alog₂（a+b）-blog₂（a+b）+blog₂b＞0，
∴，
∴f（a^ab^b4^a）＞f[（a+b）^a+b]．
（3）當m=1時，，
且，
∴，
∴，
∴．
由：=，q≥2010，
∵b_n≥2011n恒成立，
即：恒成立，
顯然，q≥2010時，數列為單調遞減數列，
且，
當q≥2011時，中的每一項都大于2011，
∴恒成立，
當q∈[2010，2011）時，由 數列為單調遞減數列，
且，
說明數列在有限項后必定小于2011，
設，
且數列{M_n}也為單調遞減數列，M₁≥0，
根據以上分析：數列中必有一項，
（設為第k項），（其中M_k≥0，且M_k+1＜0），
∵{M_n}為單調遞減數列，
∴+…+
=2011n+M₁+M₂+…+M_k+M_k+1+…+M_n
≤2011n+kM₁+M_k+1+…+M_n
≤2011n+kM₁+（n-k）M_k+1，
當n→∞時，kM₁+（n-k）M_k+1＜0，
∴，
∴q∈[2010，2011）時，不滿足條件．
綜上所得：q_min=2011．…（14分）
點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是數列中必有一項，（設為第k項），（其中M_k≥0，且M_k+1＜0）的推導過程．