Question

【題目】已知函數，共中

（1）判斷，的奇偶性并證明：

（2）證明，函數在上單調遞增；

（3）若不等式對任成恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）

【解析】

（1） 根據題意先求出函數的定義域，判斷是否關于原點對稱，再表達出，找出與的關系，即可判斷并證明出的奇偶性；

（2） 根據單調性的定義，在定義域內任取，設，證明即可。

（3） 根據函數的奇偶性，將不等式轉化成，再根據（2），再將不等式轉化為，利用分離參數法得到，構造新函數令，求出在的最大值即可求出的取值范圍。

（1） 由題意得，函數的定義域為R，關于原點對稱，

且，滿足奇函數的定義，故函數為奇函數。

（2） 證：任取,設,可得，將代入函數式作差得，

即當時，，

所以，函數在上單調遞增。

（3） 不等式對任意恒成立，即

對任意恒成立，

為R上的奇函數，

對任意恒成立，

由（2）知函數在上單調遞增，

對任意恒成立

即對任意恒成立，即的最大值即可，

令，

再令，可得，且

，可變為，

易知在上單調遞減，

即在上的最大值為-1，

的取值范圍為