Question

【題目】如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE（A′平面ABC）是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形，有下列命題： ①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′﹣DEF的體積最大值為 a3；
④動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
⑤二面角A′﹣DE﹣F大小的范圍是[0， ]．
其中正確的命題是（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：①由已知可得四邊形ADEF是菱形，則DE⊥GA′，DE⊥GF， ∴DE⊥平面A′FG，∴平面A′FG⊥平面ABC，①正確；
②由三角形中位線定理可得BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，∴②正確；
③當面A′DE⊥面ABC時，三棱錐A′﹣DEF的體積達到最大，
最大值為 = ，③正確；
④由平面A′FG⊥平面ABC，可知點A′在面ABC上的射影在線段AF上，∴④正確；
⑤在旋轉過程中二面角A′﹣DE﹣F大小的范圍是[0，π]，∴⑤不正確．
故答案為：①②③④．
①由已知可得四邊形ADEF是菱形，再利用菱形對角線的性質、線面面面垂直的判定與性質定理即可得出；②由三角形中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；③當面A′DE⊥面ABC時，三棱錐A′﹣DEF的體積達到最大，再利用體積計算公式即可得出；④由平面A′FG⊥平面ABC，利用面面垂直的性質定理可得點A′在面ABC上的射影在線段AF上；⑤在旋轉過程中二面角A′﹣DE﹣F大小的范圍是[0，π]，即可判斷出．