Question

已知雙曲線

x2

2

-y2=1的左、右頂點分別為A₁，A₂，點P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程；
（2）若過點H（0，h）（h＞1）的兩條直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，且l₁⊥l₂，求h的值．

Answer 1

分析：（1）先確定直線A₁P與A₂Q的方程；再聯(lián)立方程組解之（相乘處理）；最后利用點P（x₁，y₁）在雙曲線上，消去參數(shù)x₁、y₁（整體消元）求出軌跡E的方程；
（2）先由l₁⊥l₂設(shè)出兩直線方程；再分別與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)只有一個交點（即△=0）得出k、h的兩個方程；最后解出h的值．

解答：解：（1）由A₁，A₂為雙曲線的左右頂點知，A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，
則A1P：y=

y1

x1+ 2

(x+

2

)，A2Q：y=

-y1

x1- 2

(x-

2

)，
兩式相乘得y2=

- y 2 1

x 2 1 -2

(x2-2)，
因為點P（x₁，y₁）在雙曲線上，所以

x 2 1

2

-

y

2 1

=1，即

y 2 1

x 2 1 -2

=

1

2

，
所以y2=-

1

2

(x2-2)，即

x2

2

+y2=1，
故直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1．（x≠±

2

，x≠0）
（2）設(shè)l₁：y=kx+h（k＞0），則由l₁⊥l₂知，l2：y=-

1

k

x+h．
將l₁：y=kx+h代入

x2

2

+y2=1得

x2

2

+(kx+h)2=1，
即（1+2k²）x²+4khx+2h²-2=0，
若l₁與橢圓相切，則△=16k²h²-4（1+2k²）（2h²-2）=0，即1+2k²=h²；
同理若l₂與橢圓相切，則1+2•

1

k2

=h2．
由l₁與l₂與軌跡E都只有一個交點包含以下四種情況：
[1]直線l₁與l₂都與橢圓相切，即1+2k²=h²，且1+2•

1

k2

=h2，消去h²得

1

k2

=k2，即k²=1，
從而h²=1+2k²=3，即h=

3

；
[2]直線l₁過點A1(-

2

，0)，而l₂與橢圓相切，此時k•(-

2

)+h=0，1+2•

1

k2

=h2，解得h=

1+ 17 2

；
[3]直線l₂過點A2(

2

，0)，而l₁與橢圓相切，此時-

1

k

•

2

+h=0，1+2k²=h²，解得h=

1+ 17 2

；
[4]直線l₁過點A1(-

2

，0)，而直線l₂過點A2(

2

，0)，此時k•(-

2

)+h=0，-

1

k

•

2

+h=0，∴h=

2

．
綜上所述，h的值為

2

，

3

，

1+ 17 2

．

點評：本題綜合考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及點的軌跡方程求法；同時考查方程思想、運算能力等．