Question

在平面直角坐標系xOy中，線段AB與y軸交于點F（0，

1

2

），直線AB的斜率為k，且滿足|AF|•|BF|=1+k²．
（1）證明：對任意的實數k，一定存在以y軸為對稱軸且經過A、B、O三點的拋物線C，并求出拋物線C的方程；
（2）對（1）中的拋物線C，若直線l：y=x+m（m＞0）與其交于M、N兩點，求∠MON的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出直線AB和拋物線C的方程并聯立消y，在利用弦長公式求出AF和BF代入|AF|•|BF|=1+k²．即可求出拋物線C的方程；
（2）先把直線l的方程與拋物線C的方程聯立消y，求出M、N兩點橫坐標之間的關系，再求出直線ON和MO的斜率，利用到角公式求出∠MON的正切．最后在利用函數的思想求出∠MON的正切值的范圍，進而求出∠MON的取值范圍．

解答：解：（1）由已知設l_AB：y=kx+

1

2

①
又設拋物線C：x²=ay（a＞0）②
由①②得x²-akx-

a

2

=0（2分）
設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），，則x_A•x_B=-

a

2

由弦長公式得|AF|=

1+k2

|xA-0|=

1+k2

|xA|
|BF|=

1+k2

|xB-0|=

1+k2

|xB|（4分）
∴|AF|•|BF|=（1+k²）×|

a

2

|
而|AF|•|BF|=1+k²，所以a=2，即拋物線方程為C：x²=2y（6分）

（2）設M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），由

y=x+m x2=2y

?x²-2x-2m=0
而△4+8m＞0（m＞0）
則x_M+x_N=2，x_M•x_N=-2m，
kOM=1+

m

xM

，kON=1+

m

xN

（7分）
不妨設x_M＜x_N，由于m＞0，則x_M＜0＜x_N
令∠mon=θ≠

π

2

，則ON到OM的角為θ，且滿足
tanθ=

kOM-kON

1+kOM•kON

=

2 1+2m

m-2

(m≠2)（9分）
令t=

1+2m

，則m=

t2-1

2

，t＞1且t≠

5

∴tanθ=

4t

t2-5

=

4

t+ -5 t

函數y=x與y=

-5

x

在（0，+∞）上皆為增函數
∴t-

5

t

∈（-4，0）∪（0，+∞）
∴

4

t+ -5 t

∈（-∞，-1）∪（0，+∞）（11分）
則θ∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，

3π

4

），又m=2時，∠MON=θ=

π

2

∴∠MON∈（0，

3π

4

）（13分）

點評：本題綜合考查了直線與拋物線的位置關系以及弦長公式的應用問題．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．