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已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率．
（I）求橢圓的方程；（II）已知直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點．

（I）；（II）詳見試題解析．

解析試題分析：（I）由題意可知從而可得橢圓的方程；（II）由（I）知聯立動直線和橢圓方程可得：再利用向量數量積的坐標公式及韋達定理通過計算證明結論．
試題解析：（I）解：由題意可知橢圓的方程為 4分
（II）證明：由（I）知聯立動直線和橢圓方程可得：由得且又
故結論成立． 13分
考點：1．橢圓的方程及其簡單幾何性質；2．直線與橢圓的位置關系；3．解析幾何定點問題．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓經過點,橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩直線與橢圓分別交于相異兩點、.若的平分線與軸平行, 試探究直線的斜率是否為定值？若是, 請給予證明；若不是, 請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知平面內一動點P到點F(1，0)的距離與點P到y軸的距離的差等于1．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設l₁與軌跡C相交于點A，B，l₂與軌跡C相交于點D，E，求的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，、、是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點，直線交于點，設的斜率為，的斜率為，求證：為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)把的參數方程化為極坐標方程;
(Ⅱ)求與交點的極坐標().

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：，
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍；
（3）過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點，設原點到四邊形的一邊距離為，試求時滿足的條件.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線焦點為，直線經過點且與拋物線相交于，兩點

（Ⅰ）若線段的中點在直線上，求直線的方程；
（Ⅱ）若線段，求直線的方程

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于，垂足為點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設與軸交于點，不同的兩點在上（與也不重合），且滿足，求的取值范圍.