【題目】函數
，其中常數
.
（1）求
的最小值；
（2）若
，討論
的零點的個數.
【答案】（1）-1（2）見解析
【解析】
(1) 導數為
，研究單調性即可得到
的最小值；
(2)
在其定義域
上的導數是
，對a分類討論，數形結合即可明確的零點的個數.
解：（1）
在定義域上的導數為.
所以當
時，
；當
時，
.
所以
的單調遞減區間是
，單調增區間是
.
所以的最小值是
.
（2）在其定義域上的導數是
①當
時，由（1）可得
在上是增函數，此時由
，可得函數有唯一的零點.
②當
時，
并且對于負數
，有
又因為
，所以
，即
所以在區間
上存在負數
，使得
，則在
上
是增函數；在區間
上
是減函數.則
.所以在上，有且僅有
個零點；
在區間上，
并且
是增函數.
所以存在正數
，使得在
上，是減函數；在
上，是增函數.于是有
所以在上，恰有唯一的零點.
所以當時，在上恰有三個不同的零點.
綜上所述，當時，有唯一的零點；當時，有三個不同的零點.
孟建平小學滾動測試系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了研究學生的數學核心素養與抽象能力(指標
)、推理能力(指標
)、建模能力(指標
)的相關性，將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標
的值評定學生的數學核心素養，若
，則數學核心素養為一級；若
，則數學核心素養為二級；若
，則數學核心素養為三級，為了了解某校學生的數學核心素養，調查人員隨機訪問了某校10名學生，得到如下數據：
學生編號 |
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(1)在這10名學生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標相同條件下綜合指標值也相同的概率；
(2)在這10名學生中任取三人，其中數學核心素養等級是一級的學生人數記為
，求隨機變量的分布列及其數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期（公元
世紀）的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數”問題，原文如下：有物不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，問物幾何？即，一個整數除以三余二，除以五余三，求這個整數.設這個整數為
，當
時， 符合條件的共有_____個．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，N為AD的中點．
（1）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（2）點M在線段PC上且滿足
，直線MN與平面PBC所成角的正弦值為
，求實數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的左焦點為
，下頂點為
，上頂點為
，
是等邊三角形.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設直線
，過點且斜率為
的直線與橢圓交于點
異于點
，線段
的垂直平分線與直線
交于點
，與直線交于點
，若
.
(ⅰ)求
的值；
(ⅱ)已知點
，點
在橢圓上，若四邊形
為平行四邊形，求橢圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過點
的橢圓
的離心率為
，橢圓與
軸交于兩點
、
，過點
的直線
與橢圓交于另一點
，并與軸交于點
，直線
與直線
交于點
.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）當點異于點
時，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在下列三個正方體
中，
均為所在棱的中點，過作正方體的截面．在各正方體中，直線
與平面
的位置關系描述正確的是
A. 
平面的有且只有①；
平面的有且只有②③
B. 平面的有且只有②；平面的有且只有①
C. .平面的有且只有①；平面的有且只有②
D. 平面的有且只有②；平面的有且只有③
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