Question

已知向量

a

=（sinx，1+cos2x），

b

=（sinx-cosx，cos2x+

1

2

），定義函數f（x）=

a

•（

a

-

b

）
（Ⅰ）求函數f（x）最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A為銳角，且A+B=

7π

12

，f(A)=1，BC=2，求邊AC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據向量的減法運算求出

a

-

b

，根據題中的新定義及平面向量的數量積的運算法則表示出f（x），然后利用二倍角的正弦函數公式及兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，然后利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據f（A）=1，由第一問求出的f（x）的解析式，根據A的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，再根據A+B的度數求出B的度數，由已知的BC，sinA及sinB的值，利用正弦定理即可求出AC的值．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=

a

•( 

a

-

b

)=cosx•sinx+

cos2x+1

2

=

1

2

(sin2x+cos2x+1)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∴T=

2π

2

=π；（6分）
（Ⅱ）由f（A）=1得

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1，
∴sin(2A+

π

4

)=

2

2

且2A+

π

4

∈(

π

4

，

5π

4

)，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，解得A=

π

4

，
又∵A+B=

7π

12

，∴B=

π

3

，（10分）
在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴AC=

BCsinB

sinA

=

6

．（12分）

點評：此題綜合考查了三角函數的恒等變換，正弦定理及平面向量的數量積運算．函數周期的求法是把函數化為一個角的三角函數，然后利用周期公式求出．熟練掌握三角函數公式及平面向量的運算法則是解本題的關鍵．