Question

已知點(diǎn) M（0，-1），F(xiàn)（0，1），過點(diǎn)M的直線l與曲線y=

1

3

x3-4x+4在x=-2處的切線平行．
（1）求直線l的方程；
（2）求以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線C的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x3-4x+4，可得它的導(dǎo)數(shù)f'（x）=x²-4，從而得到直線l的斜率為f'（2）=0，最后結(jié)合直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，-1）得直線l的方程；
（2）根據(jù)題意，拋物線的開口向上，設(shè)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到拋物線C的方程．

解答：解：（1）設(shè)y=

1

3

x3-4x+4=f（x），則f'（x）=x²-4
∴曲線y=

1

3

x3-4x+4在x=-2處的切線斜率k=f'（2）=0
∵過點(diǎn)M（0，-1）的直線l與曲線y=

1

3

x3-4x+4在x=-2處的切線平行，
∴直線l的斜率也為0，直線l的方程是：y=-1；
（2）∵拋物線C以點(diǎn)F（0，1）為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線
∴設(shè)拋物線方程為x²=2py，可得

p

2

=1，2p=4
因此所求拋物線的方程為x²=4y．

點(diǎn)評(píng)：本題給出已知曲線上一點(diǎn)處的切線，求與它平行的直線l的方程，并且求另一個(gè)拋物線方程，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．