Question

已知函數．
（1）若a=-4，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）記函數g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

解：由函數知，
（1）當a=-4時，，
令f′（x）＞0，則，由于x＞0，即得2x²-4x-2＞0，即x²-2x-1＞0，解得：；
令f′（x）＜0，則，由于x＞0，即得2x²-4x-2＜0，即x²-2x-1＜0，解得：．
因此，函數的單調增區間是，單調減區間是．
（2）由于函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，則在[1，+∞）上恒成立．
由于x≥1，得到即在[1，+∞）上恒成立．
而函數在[1，+∞）上是減函數，且，
因此，實數a的取值范圍是a≥0．
（3）由題意知，函數g（x）=x²[f′（x）+2x-2]=2x³+ax-2（x＞0），
則g′（x）=6x²+a，令g′（x）=0得到或（舍），
且當時，g′（x）＜0；當時，g′（x）＞0，
則函數g（x）=2x³+ax-2（x＞0）在時取得極小值g（）=，也是定義域上的最小值．
又g（x）的最小值是-6，則，解得a=-6．
因此，函數f（x）的解析式為．
分析：（1）對函數進行求導，然后令導函數大于0求出x的范圍，令導函數小于0求出x的范圍，即可得到答案；
（2）要使函數f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增，則函數的導函數，列出不等式在[1，+∞）上恒成立，利用在[1，+∞）上單調遞減，最大值是0，求出a的取值范圍a≥0；
（3）由于函數g（x）=x²[f′（x）+2x-2]=2x³+ax-2（x＞0），則要利用導數求函數g（x）=2x³+ax-2在（0，+∞）上的最小值，讓最小值為-6，得到a的值，即可得f（x）的解析式．
點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．