Question

已知函數（，），．
（1）求函數的單調區間,并確定其零點個數；
（2）若在其定義域內單調遞增，求的取值范圍；
（3）證明不等式 （）．

Answer 1

（1）當時，為的減區間，為的增區間，有且只有一個零點；當時，為的增區間，為的減區間，有且只有一個零點.
（2）
（3）由（2）可知 當時，在內單調遞增，
而所以當時， 即   放縮法來得到。

試題分析：解：（1）                 1分
則
                 2分
（i）若，則當時，；當時，
所以 為的增區間，為的減區間.        3分
極大值為
所以只有一個零點.
（ii）若，則當時，；當時，
所以 為的減區間，為的增區間.
極小值為              4分
所以只有一個零點.
綜上所述，
當時，為的減區間，為的增區間，有且只有一個零點；
當時，為的增區間，為的減區間，有且只有一個零點.
5分
（2）
              6分
由在其定義域內單調遞增，可知,恒成立.
則   恒成立.          7分
(法一)由二次函數的圖象(開口向上，過定點)可得或 
8分
則 或
則 或
得 .
可以驗證 當時在其定義域內單調遞增
故 .                         9分
(法二)分離變量
因  （當且僅當，即時取到等號） 8分
所以 ， 則.
可以驗證 當時在其定義域內單調遞增
故                           9分
（3）由（2）可知 當時，在內單調遞增，
而
所以當時，
即                     10分
令 ，
則                    11分
則
所以 ，，  , ,,
以上個式子累加可得

12分
則
則           13分
則
故  （）．      14分
點評：主要是考查了導數在研究函數單調性以及函數與不等式中的運用，屬于中檔題。