Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （a＞0）
（1）若a=1，證明：y=f（x）在R上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，討論f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）當(dāng)a=1時(shí)，且x≥1時(shí)，f（x）=lnx﹣x+1，

∴0恒成立，

∴f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=ex﹣1﹣x，

∴f′（x）=ex﹣1﹣1＜0恒成立，

∴f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞減，

綜上所述y=f（x）在R上單調(diào)遞減

（2）解：當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=lnx﹣ax+1=0，分別畫(huà)出y=lnx，與y=ax﹣1的圖象，如圖所示：

∵y=ax﹣1過(guò)定點(diǎn)（0，﹣1），

設(shè)直線y=ax﹣1與y=lnx的切點(diǎn)為（m，n），

∴k=f′（m）= = ，f（m）=lnm=n

∴n=0，m=1，

由圖象可知，x≥a時(shí)，且當(dāng)a＞1時(shí)，圖象無(wú)交點(diǎn)，故f（x）無(wú)零點(diǎn)，

當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=ex﹣1+（a﹣2）x，

分別畫(huà)出y=ex﹣1，與y=（2﹣a）x的圖象，如圖所示：

∵y=（2﹣a）x過(guò)定點(diǎn)（0，0），

由圖象可知，當(dāng)a＞2時(shí)，圖象有一個(gè)交點(diǎn)，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)1＜a≤2時(shí)，圖象無(wú)交點(diǎn)，故f（x）無(wú)零點(diǎn)，

故x＜a時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)a＞2時(shí)，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)1＜a≤2時(shí)，故f（x）無(wú)零點(diǎn)．

【解析】（1）分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可證明；（2）利用數(shù)形結(jié)合法，分段討論，即可求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．