Question

如圖所示，在三棱錐中，平面，，分別是的中點，，與交于，與交于點，連接。

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）

【解析】解法一 （Ⅰ）在中，分別是的中點，則是的重心，

同理，所以，因此

又因為是的中位線，所以.

（Ⅱ）解法1 因為 ，所以,又，

所以平面，平面，

為二面角的平面角，

不妨設由三角形知識可得

由余弦定理得

解法2分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，不妨設則

設平面的法向量為，則

，所以，令得

同理求得平面的一個法向量為，

因此

由圖形可知二面角的余弦值為

解法二（Ⅰ）證明：因為分別是的中點，

所以∥,∥，所以∥，

又平面，平面，

所以∥平面，

又平面,平面平面，

所以∥，

又∥，

所以∥.

（Ⅱ）解法一：在△中, ,,

所以，即,因為平面,所以，

又，所以平面，由（Ⅰ）知∥,

所以平面，又平面，所以，同理可得，

所以為二面角的平面角，設,連接，

在△中，由勾股定理得，，

在△中，由勾股定理得，，

又為△的重心，所以

同理 ,

在△中，由余弦定理得，

即二面角的余弦值為.

解法二：在△中，,,

所以，又平面,所以兩兩垂直，

以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則,,,，,,所以,,,,

設平面的一個法向量為，

由，,

得

取，得.

設平面的一個法向量為

由，,

得

取，得.所以

因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

【考點定位】本題考查了空間直線的位置關系的判定和二面角的求法，考查了空間想象能力、推理論證能力和運算能力。第一問主要涉及平面幾何的圖形性質，中點形成的平行線是常考點之一，論證較為簡單。第二問有兩種方法可以解決，因圖形結構的簡潔性，推理論證較為簡單，而利用空間向量運算求解二面角就相對復雜了.