Question

如圖，在直角三角形ABC中，斜邊AB=4．設(shè)角A=θ，△ABC的面積為S
（1）試用θ表示S，并求S的最大值；
（2）計(jì)算

AB

•

AC

+

BC

•

BA

的值．

Answer 1

分析：（1）先在直角三角形ABC中，求出|AC|=4cosθ，再代入三角形的面積計(jì)算公式即可用θ表示出S，最后結(jié)合三角函數(shù)求最值的方法可求S的最大值；
（2）直接利用

BC

=-

CB

以及

BA

=-

AB

把原問題轉(zhuǎn)化，再結(jié)合向量的加法公式即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)樵谥苯侨�角形ABC中，斜邊AB=4．角A=θ．
所以有：|AC|=4cosθ，
故S=

1

2

|AB|•|AC|•sinθ
=

1

2

×4×4cosθ•sinθ
=8sinθ•coθ
=4sin2θ．
當(dāng)2θ=

π

2

即θ=

π

4

時(shí)，
△ABC的面積S有最大值4．
（2）∵

AB

•

AC

+

BC

•

BA

=

AB

•

AC

+

CB

•

AB

=

AB

•（

AC

+

CB

）
=

AB

2=4²=16．
∴

AB

•

AC

+

BC

•

BA

的值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用以及向量知識(shí)的應(yīng)用．解決第二問的關(guān)鍵在于利用

BC

=-

CB

以及

BA

=-

AB

把原問題轉(zhuǎn)化，從而用已知條件AB=4求出結(jié)論．