Question

【題目】已知數(shù)集(,)具有性質(zhì)P;對任意的i,j(),與兩數(shù)中至少有一個屬于A.

(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P,并說明理由;

(2)證明:,且;

(3)當(dāng)時,若,求集合A.

Answer 1

【答案】(1) 數(shù)集不具有性質(zhì)P. 數(shù)集,具有性質(zhì)P.見解析 (2)見解析 (3)

【解析】

(1)根據(jù)性質(zhì)P;對任意的i,j(),與兩數(shù)中至少有一個屬于A,驗證給的集合集與中的任何兩個元素的積商是否為該集合中的元素;

(2)由性質(zhì)P,知,故,

從而,.再驗證又由于

,,,…,,

從而,命題得證;

(3)根據(jù)(2),只要證明即可求得集合A.

解:(1)由于,與或均不屬于數(shù)集,

∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P.

由于,,,,,,,,,都屬于數(shù)集,

∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.

(2)證明:∵具有性質(zhì)P,

∴與中至少有一個屬于A,

由于,∴

故.

從而,.

∵,,∴(),

故().

由A具有性質(zhì)P可知().

又∵,,,…,,

從而,

∴;

(3)由(2)知,當(dāng)時,

有,,即,

∵,∴,

∴,

由A具有性質(zhì)P可知.

由,得,

∴,

∴

即,,,,是首項為1,公比為等比數(shù)列,

即有集合.