Question

已知函數（k為常數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若g（x）=xe^xf（x）-2x-m在[1，+∞）恒有g（x）≥0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數可得
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（2）求導數得（x＞0）
當x∈（0，1），f′（x）＞0；當x＞1，f′（x）＜0，
∴f（x）的遞增區間為（0，1），遞減區間為（1，+∞）；
（3）g（x）=xlnx-x-m≥0，∴m≤xlnx-x
令h（x）=xlnx-x，則h′（x）=lnx，∵x＞1，h′（x）＞0
∴h（x）_min=h（1）=-1，
∴m≤-1
分析：（1）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，可得f′（1）=0，從而可求k的值；
（2）由導數的正負，可得函數的單調區間；
（3）分離參數，利用導數確定函數的最值，即可求得實數m的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查恒成立問題，分離參數求函數的最值，是求恒成立問題的常用方法．