Question

已知函數：
①f（x）=-x²+2x，
②f（x）=cos（），
③f（x）=．則以下四個命題對已知的三個函數都能成立的是
命題p：f（x）是奇函數；　　　
命題q：f（x+1）在（0，1）上是增函數；
命題r：f（）；　　　　　　
命題s：f（x）的圖象關于直線x=1對稱．

1. A.
   命題p、q
2. B.
   命題q、s
3. C.
   命題r、s
4. D.
   命題p、r

Answer 1

C
分析：①中函數是二次函數，由二次函數的對稱軸是x=1且開口向下，即能判出函數是非奇非偶函數，由函數在（1，+∞）上的單調性可知向左平移1個單位后的單調性；
②中的函數經誘導公式化簡后變為，然后逐一對四個命題進行判斷；
③中的函數直接利用奇偶性定義判斷奇偶性，求出f（x+1）可判出f（x+1）為偶函數，從而得到在（0，1）上是增函數，利用圖象平移判出函數f（x）的對稱軸．
解答：①函數f（x）=-x²+2x圖象是開口向下的拋物線，對稱軸方程是x=1，所以該函數不是奇函數；函數f（x）在
（1，+∞）上為減函數，而函數f（x+1）的圖象是把函數f（x）的圖象左移1個單位得到的，所以函數f（x+1）在（0，1）上是減函數；
；f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
②f（x）=cos（）=，該函數是定義在R上的奇函數；f（x+1）=，
當x∈（0，1）時，，所以f（x+1）在（0，1）上是減函數；=
=＞；當x=1時，，所以f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
③f（x）=，由于=f（x），所以f（x）不是奇函數；
f（x+1）=，在（0，1）上是增函數；；
因為是偶函數，圖象關于x=0對稱，所以f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
綜上，對三個函數都成立的命題是r和s．
故選C．
點評：本題考查了命題的真假的判斷與應用，考查了復合函數的奇偶性，單調性及對稱性，考查了函數值的計算，解答此題的關鍵是熟練掌握函數圖象的平移，此題是基礎題．