Question

【題目】如圖1，在邊長為4的正方形中，是的中點，是的中點，現將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用線面平行的定義證明即可

（2）取的中點，并分別連接，，然后，證明相應的線面垂直關系，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用坐標運算進行求解即可

證明：（1）在圖1中，連接.

又，分別為，中點，

所以.即圖2中有.

又平面，平面，

所以平面.

解：（2）在圖2中，取的中點，并分別連接，.

分析知，，.

又平面平面，平面平面，平面，所以平面.

又，所以，，.

分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.

設平面的一個法向量，則，

取，則，，所以.

又，

所以.

分析知，直線與平面所成角的正弦值為.