Question

【題目】在如圖所示的幾何體中， ， ， ， ， ，二面角的大小為.

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成的角（銳角）的大小；

（3）若為的中點，求直線與平面所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知可得AC⊥CD，AC⊥CB，即∠BCD為二面角B﹣AC﹣E的平面角，即∠BCD=60°，求解三角形可得BD⊥DC，再由線面垂直的判定可得AC⊥平面BCD，得到AC⊥BD，進一步得到BD⊥平面ACDE；

（Ⅱ）由BD⊥平面ACDE，得BD⊥DC，BD⊥DE，可得DB，DC，DE兩兩垂直，分別以DB，DC，DE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，得到平面BAE與平面BCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面BCD與平面BAE所成的角；

（Ⅲ）若F為AB的中點，由（II）可得，進一步得到，由已知可得平面BDE的一個法向量為，由與所成角的余弦值的絕對值可得直線EF與平面BDE所成角的大小．

試題解析：

（1）因為，則， ，

所以為二面角的平面角，即，

在中， ， ， ，

所以，所以，即，

由， ，且，可知平面，

又平面，所以，

又因為， 平面， 平面，

所以平面．

（2）由平面得， ，又，即， ， 兩兩垂直，

則以， ， 分別為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示．

由（I）知， 則， ， ，

由得，

依題意， ，

設平面的一個法向量為，

則，即，不妨設，可得，

由平面可知平面的一個法向量為

設平面與平面所成的角（銳角）為，

所以，于是，

所以平面與平面所成的角（銳角）為．

（3）若為的中點，則由（II）可得，所以，

依題意平面，可知平面的一個法向量為，

設直線與平面所成角為，則

，所以直線與平面所成角的大小．