Question

已知在△ABC中，邊a，b，c所對應的角為A，B，C，B為銳角，sinAsinB=

BC

2AC

．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若cosA=-

5

5

，求sin（2A+B）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知等式右邊，根據sinA不為0求出sinB的值，由B為銳角即可求出角B的值；
（Ⅱ）由cosA的值，以及A為三角形內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，進而利用二倍角的正弦、余弦函數公式求出sin2A與cos2A的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）∵sinAsinB=

BC

2AC

=

a

2b

，根據正弦定理得：

a

b

=

sinA

sinB

，
∴sinAsinB=

sinA

2sinB

，
∵A∈（0，π），∴sinA＞0，
∴sin²B=

1

2

，
∵B為銳角，∴sinB=

2

2

，
則B=

π

4

；
（Ⅱ）∵cosA=-

5

5

，A∈（0，π），
∴sinA=

1-cos2A

=

2 5

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=2×

2 5

5

×（-

5

5

）=-

4

5

，cos2A=cos²A-sin²A=-

3

5

，
則sin（2A+B）=sin2AcosB+cos2AsinB=-

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=-

7 2

10

．

點評：此題考查了正弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．