Question

設點P在曲線y=e^x上，點Q在曲線y=1-

1

x

(x＞0)上，則|PQ|的最小值為（　　）

• A．

  2

  2

  (e-1)
• B．

  2

  (e-1)
• C．

  2

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：求兩個曲線上不同兩點的距離的最小值，顯然沒法利用兩點間的距離公式計算，可結合函數y=e^x上的點關于y=x的對稱點在其反函數的圖象上把問題轉化為求曲線y=lnx上的點與y=1-

1

x

(x＞0)上的點到直線y=x的距離之和最小問題，而與y=x平行的直線同時與曲線y=lnx和y=1-

1

x

(x＞0)切于同一點（1，0），所以PQ的距離的最小值為（1，0）點到直線y=x距離的2倍．

解答：解：如圖，
因為y=e^x的反函數是y=lnx，兩個函數的圖象關于直線y=x對稱，
所以曲線y=e^x上的點P到直線y=x的距離等于在曲線y=lnx上的對稱點P^′到直線y=x的距離．
設函數f（x）=lnx-1+

1

x

，
f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當0＜x＜1時，f^′（x）0，所以函數f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）=0，
則當x＞0時，除（1，0）點外函數y=lnx的圖象恒在y=1-

1

x

的上方，在（1，0）處兩曲線相切．
求曲線y=e^x上的點P與曲線y=1-

1

x

上的點Q的距離的最小值，可看作是求曲線y=lnx上的點P^′與Q點
到直線y=x的距離的最小值的和，而函數y=lnx與y=1-

1

x

在x=1時的導數都是1，說明與直線y=x平行的直線
與兩曲線切于同一點（1，0）則PQ的距離的最小值為（1，0）點到直線y=x距離的2倍，
所以|PQ|的最小值為2×

1

12+12

=

2

．
故選D．

點評：本題考查了兩點間的距離，考查了數形結合的解題思想，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是分析得到函數y=lnx的圖象除（1，0）點外恒在y=1-

1

x

的上方，且在（1，0）處兩曲線相切．此題屬中檔題．