Question

【題目】已知函數f（x）= 是定義在R上的奇函數，且f（1）=2．
（1）求實數a，b并寫出函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（﹣1，1）上的單調性并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= 是定義在R上的奇函數，

∴f（0）=0，

又由f（1）=2．

故 ，

解得：a=4，b=0，

f（x）=

（2）解：函數f（x）在（﹣1，1）上的單調遞增，理由如下：

∵f（x）= ，

∴f′（x）= ，

當x∈（﹣1，1）時，f′（x）≥0恒成立，

故函數f（x）在（﹣1，1）上的單調遞增

【解析】（1）根據奇函數的特性，可得f（0）=0，又由f（1）=2．可得實數a，b的值，進而得到函數f（x）的解析式；（2）求導，分析導數的符號，進而判斷函數f（x）在（﹣1，1）上的單調遞增．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法和利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．