Question

已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）記函數的最小值為，求證：.

 

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區間為；的單調遞減區間為；

（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求導，再令導數等于0，討論導數的正負得函數的增減區間。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.令還是先求導再令導數等于0，討論導數的正負得函數的單調區間，從而可求得此函數的最值。

試題解析：【解析】

的定義域為.

. 2分

令，解得或（舍）.

當在內變化時，的變化情況如下：

由上表知，的單調遞增區間為；的單調遞減區間為.

5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值. 6分

令，則.

令，解得. 8分

當在內變化時，的變化情況如下：

所以函數的最大值為，即.

因為，所以. 11分

考點：1導數；2利用導數判斷函數的單調性；3利用單調性求最值。