Question

【題目】已知某幾何體直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形.

（1）求證： ；

（2）；

（3）設為中點，在邊上找一點，使//平面并求.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）因為該幾何體的正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形, 兩兩垂直,以為坐標原點,分別以所在直線別為軸建立空間直角坐標系,證出后即可證明平面；〔2〕求出平面的一個法向量,利用與此法向量的夾角的余弦可求出直線與平面所成的角正弦值；（3）設為上一點，由平面，得知，利用向量數量積為求出的值，并求出的值.

試題解析：（1）證明：因為該幾何體的正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，

∴ BA，BC，BB1兩兩垂直。

以BA，BC，BB1分別為軸建立空間直角坐標系，則N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）∵=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0=（4,4,0）·（0,0,4）=0 ∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1與B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1B1N；

（2）設為平面的一個法向量，則

則

（3）∵M（2,0,0）.設P(0,0,a)為BC上一點,則,

∵MP//平面CNB1,

∴

又,

∴當PB=1時MP//平面CNB1 .

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求二面角、證明線面垂直，求線面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.