Question

已知命題p：在x∈[1，2]內，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命題q：函數f(x)=log

1

3

(x2-2ax+3a)是區間[1，+∞）上的減函數．若命題“p?q”是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用復合命題真假的判斷方法求解實數a的取值范圍是解決本題的關鍵．首先要確定出命題p，q為真的字母a的取值范圍，利用恒成立問題的分離變量方法得出命題p為真的a的范圍；利用復合函數單調性的方法得出命題q為真的a的范圍，注意對數函數定義域的意識．

解答：解：∵x∈[1，2]時，不等式x²+ax-2＞0恒成立
∴a＞

2-x2

x

=

2

x

-x在x∈[1，2]上恒成立，
令g(x)=

2

x

-x，則g（x）在[1，2]上是減函數，
∴g（x）_max=g（1）=1，∴a＞1．即若命題p真，則a＞1；
又∵函數f(x)=log

1

3

(x2-2ax+3a)是區間[1，+∞）上的減函數，
∴

u(x)=x2-2ax+3a是[1，+∞)上的增函數 u(x)=x2-2ax+3a＞0在[1，+∞)上恒成立

∴

a≤1 u(1)＞0

∴-1＜a≤1．即若命題q真，則-1＜a≤1．
若命題“p?q”是真命題，則有p真q假或p假q真或p，q均為真命題，
若p真q假，則有a＞1，若p假q真，則有-1＜a≤1，若p，q均為真命題，不存在a；
綜上可得實數a的取值范圍是a＞-1．

點評：本題考查復合命題真假與簡單命題真假之間的關系，或形式的命題為真只要二者都不為假命題即可，因此要分三種情況進行確定．首先要確定出這兩個簡單命題分別為真的a的范圍，這是解決本題的突破口，考查學生的轉化與化歸能力．